Question

二次函数f（x）=x²+qx+r满足

1

m+2

+

q

m+1

+

r

m

=0，其中m＞0．
（1）判断f(

m

m+1

)的正负；
（2）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内恒有解．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的性质即可得到结论．
（2）根据根的存在性定理即可得到结论．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=x²+qx+r满足

1

m+2

+

q

m+1

+

r

m

=0，其中m＞0．
∴f(

m

m+1

)=m(

m

(m+1)2

+

q

m+1

+

r

m

)=-

m

(m+1)2(m+2)

＜0；
（2）当f（0）=r＞0时，f(

m

m+1

)＜0，f（x）在[0，

m

m+1

]上连续不间断，
∴f（x）在(0，

m

m+1

)上有解；
当f（0）=r≤0时，f(1)=

1

m+2

-

r

m

＞0，f（x）在[

m

m+1

，1]上连续不间断，
∴f（x）在(

m

m+1

，1)上有解；
总之，方程f（x）=0在区间（0，1）内恒有解．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数的性质及其应用．