Question

2．已知函数f（x）=log_a（3-ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，且最大值为2，求出实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，当x∈[0，2]时，3-ax＞0恒成立．分类求出a的范围，再由a＞0且a≠1取交集得答案；
（2）由复合函数的单调性可得a＞1，再由函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，且最大值为2列关于a的不等式组求解．

解答 解：（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，则a＞0且a≠1，且当x∈[0，2]时，3-ax＞0恒成立．
由3-ax＞0，当x=0时，对于任意实数a恒成立；
当x∈（0，2]时，不等式化为a$＜\frac{3}{x}$，则a$＜\frac{3}{2}$．
综上，a的范围为：0＜a＜$\frac{3}{2}$且a≠1；
（2）∵a＞0，∴内层函数t=3-ax为减函数，
要使f（x）=log_a（3-ax）在[1，2]上为减函数，且最大值为2，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{3-2a＞0}\\{lo{g}_{a}（3-a）=2}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．