Question

有以下三个说法：
（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．
（3）一个样本的方差是s²=

1

20

[（x₁-3）²+（x₂-3）²+…+（x_n-3）²]，则这组数据的总和等于60．
其中正确的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：概率与统计

分析：（1）利用频率分布直方图中，每个小长方形的面积S=长×宽=

频数

组距

×组距=频率，中位数左右两边的频数相等，从而可判断（1）正确；
（2）设一组数x₁、x₂、…、x_n的均值为

.

x

，则

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，方差s²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，可求得组中每个数减去同一个非零常数t后的均值与方差，从而可判断（2）的正误；
（3）依题意，可求得这组数据的平均数

.

x

=3，共有20个数据，从而可得这组数据的总和，继而可判断（3）的正误．

解答： 解：（1）在频率分布直方图中，面积是频率，（每个小长方形的面积S=长×宽=

频数

组距

×组距=频率），中位数左右两边的频数是相等的，中位数是最中间的那个数，所以面积是相等的，即（1）正确；
（2）设一组数x₁、x₂、…、x_n的均值为

.

x

，则

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，方差s²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，
这组中每个数减去同一个非零常数t，则这一组数的平均数

.

x′

=

(x1-t)+(x2-t)+…+(xn-t)

n

=

.

x

-t，
方差s′²=

1

n

[(x1-t-(

.

x

-t))2+(x2-t-(

.

x

-t))2+…+(xn-t-(

.

x

-t))2]=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]=s²，
即这一组数的平均数改变，方差不改变，故（2）正确；
（3）因为一个样本的方差是s²=

1

20

[（x₁-3）²+（x₂-3）²+…+（x_n-3）²]，
所以，这组数据的平均数

.

x

=3，共有20个数据，所以这组数据的总和为S=20×3=60，故（3）正确．
综上所述，正确的个数是3个，
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查频率分布直方图中中位数的概念及应用，考查均值与方差的综合应用，属于中档题．