Question

18．设函数f（x）=|2x-6|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由不等式f（x）=|2x-6|≤x，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{-x≤2x-6≤x}\end{array}\right.$，由此求得x的范围．
（Ⅱ）由题意可得 $\frac{a}{2}$≥|x-3|-|x-1|，利用绝对值的意义求得|x-3|-|x-1|的最小值，可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）由不等式f（x）=|2x-6|≤x，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{-x≤2x-6≤x}\end{array}\right.$ 
求得2≤x≤6，故不等式的解集为{x|2≤x≤6}．
（Ⅱ）若存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立，即a≥|2x-6|-2|x-1|，
即$\frac{a}{2}$≥|x-3|-|x-1|．
而|x-3|-|x-1|表示数轴上的x对应点到3对应点的距离减去它到1对应点的距离，
它的最小值为-2，∴$\frac{a}{2}$≥-2，即 a≥-4，故实数a的取值范围为[-4，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，函数的能成立问题，属于中档题．