Question

13．已知数列{a_n}满足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2（a_n≠0），0＜a₁＜a₆=1，则使不等式a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+a₂-$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$≤0恒成立的n的最大值是11．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2（a_n≠0），可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=q≠0，可得：数列{a_n}是等比数列．由0＜a₁＜a₆=1=${a}_{1}{q}^{5}$，可得q≠±1．a₁a₁₁=a₂a₁₀=…=a₅a₇=${a}_{6}^{2}$=1，n≥12时，a_n=${a}_{6}{q}^{n-6}$≠1．因此a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+${a}_{11}-\frac{1}{{a}_{11}}$=a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-a₁=0=…，即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2（a_n≠0），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=q≠0，
∴数列{a_n}是等比数列．
∵0＜a₁＜a₆=1=${a}_{1}{q}^{5}$，∴q≠±1．
∴a₁a₁₁=a₂a₁₀=…=a₅a₇=${a}_{6}^{2}$=1，
n≥12时，a_n=${a}_{6}{q}^{n-6}$≠1．
∴a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+${a}_{11}-\frac{1}{{a}_{11}}$=a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-a₁=0，
…，
则使不等式a₁-$\frac{1}{{a}_{1}}$+a₂-$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$≤0恒成立的n的最大值是11．
故答案为：11．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．