Question

20．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsin A．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=$3\sqrt{3}$，c=5，求△ABC的面积及b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A=2sin Bsin A，由于sin A≠0，可求sinB=$\frac{1}{2}$，结合B是锐角，可求B．
（Ⅱ）依题意利用三角形面积公式及余弦定理即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为a=2bsin A，由正弦定理得sin A=2sin Bsin A，…（2分）
由于sin A≠0，故有sin B=$\frac{1}{2}$，…（4分）
又因为B是锐角，所以B=30°．…（5分）
（Ⅱ）依题意得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin 30°=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×5×$\frac{1}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，…（8分）
所以由余弦定理b²=a²+c²-2accos B，可得：
b²=（3$\sqrt{3}$）²+5²-2×3$\sqrt{3}$×5×cos 30°=27+25-45=7，…（11分）
所以b=$\sqrt{7}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．