Question

5．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=3+3sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知倾斜角为135°且过点P（1，2）的直线l与曲线C交于M，N两点，求$\frac{1}{|PM|}+\frac{1}{|PN|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的参数方程化为普通方程x²+y²-6y=0，由此能求出曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），将此参数方程代入x²+y²-6y=0中，得${t^2}-2\sqrt{2}t-7=0$，由此能求出$\frac{1}{|PM|}+\frac{1}{|PN|}$的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=3+3sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），
消去参数得曲线C的普通方程为x²+（y-3）²=9，即x²+y²-6y=0，
即x²+y²=6y，即ρ²=6ρsinθ，故曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ．
（Ⅱ）设直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），将此参数方程代入x²+y²-6y=0中，
化简可得${t^2}-2\sqrt{2}t-7=0$，显然△＞0；
设M，N所对应的参数分别为t₁，t₂，故$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}\\{t_1}{t_2}=-7\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}=\frac{{|{PM}|+|{PN}|}}{{|{PM}|•|{PN}|}}=\frac{{|{{t_1}-{t_2}}|}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}}}{{|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{6}{7}$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段长的倒数和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．