Question

12．三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知sin²B+cos²A-cos²C=$\sqrt{3}$sinBsinC，且三角形ABC外接圆面积为4π，则a=2．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简可得b²+c²-a²=$\sqrt{3}bc$，利用余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，设外接圆半径为R，由圆的面积公式可求R，根据正弦定理即可求得a的值．

解答 解：∵sin²B+cos²A-cos²C=$\sqrt{3}$sinBsinC，可得：sin²B+1-sin²A-1+sin²C=$\sqrt{3}$sinBsinC，
可得：sin²B-sin²A+sin²C=$\sqrt{3}$sinBsinC，
∴由正弦定理可得：b²+c²-a²=$\sqrt{3}bc$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由A为三角形年纪，可得sinA=$\frac{1}{2}$，
∵三角形ABC外接圆面积为4π，设外接圆半径为R，则4π=πR²，可得R=2，
∴由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=2R$，可得：$\frac{a}{\frac{1}{2}}=4$，解得a=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．