Question

3．已知等差数列{a_n}是有穷数列，且a₁∈R，公差d=2，记{a_n}的所有项之和为S，若a₁²+S≤96，则数列{a_n}至多有12项．

Answer 1

分析 根据题意，利用等差数列的前n项和公式，结合一元二次不等式的解法与步骤，利用判别式列出不等式，求出解集即可．

解答 解：等差数列{a_n}是有穷数列，且a₁∈R，公差d=2，记{a_n}的所有项之和为S，
∴S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=na₁+n（n-1）；
又a₁²+S≤96，
∴${{a}_{1}}^{2}$+na₁+n（n-1）≤96，
即${{a}_{1}}^{2}$+na₁+（n²-n-96）≤0；
∴△=n²-4（n²-n-96）≥0，
即3n²-4n-384≤0，
解得-$\frac{32}{3}$≤n≤12；
∴数列{a_n}至多有12项．
故答案为：12．

点评 本题考查了一元二次不等式的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，是综合性题目．