Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，当数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{n+1}$，n∈N*，我们记实数λ为S_2n-S_n的最小值，那么数列b_n=$\frac{1}{n-100λ}$，n∈N*取得最大值时的项数n为34．

Answer 1

分析 a_n=$\frac{1}{n+1}$，n∈N*，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n+1}$=f（n），研究其单调性可得：f（n）单调递增，n=1时，S_2n-S_n取得最小值f（1）=$\frac{1}{3}$=λ，于是b_n=$\frac{1}{n-100λ}$=$\frac{1}{n-\frac{100}{3}}$，对n分类讨论，利用单调性即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{n+1}$，n∈N*，
∴S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n+1}$=f（n），
f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n+4}$-$\frac{1}{2n+4}$＞0，
因此f（n）单调递增，∴n=1时，S_2n-S_n取得最小值f（1）=$\frac{1}{3}$=λ，
∴b_n=$\frac{1}{n-100λ}$=$\frac{1}{n-\frac{100}{3}}$，
n≤33时，b_n＜0；
n≥34时，b_n＞0，并且单调递减．
因此取得最大值时的项数n=34．
故答案为：34．

点评 本题考查了数列的递推关系、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．