题目内容

9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点；
（Ⅱ）以α为参数，求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程，并判断该轨迹的曲线类型．

分析 （Ⅰ）由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4，将$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x2+y2=4，得t2+2tcosα-3=0，利用根的判别式能证明不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点．
（Ⅱ）设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t1，t2，弦AB中点P对应参数为t0，由中点坐标公式求出${t}_{0}=\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-cosα，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$中，能得到弦AB的中点的轨迹方程，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x2+y2=4，得t2+2tcosα-3=0，（*）
由△=（2cosα）2-4×（-3）＞0，知方程（*）恒有两个不等实根，
故不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点．
解：（Ⅱ）设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t1，t2，弦AB中点P对应参数为t0，
由（*）知${t}_{0}=\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-cosα，
代入$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$中，整理，得弦AB的中点的轨迹方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-co{s}^{2}α}\\{y=-sinαcosα}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-cos2α}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}sin2α}\end{array}\right.$（α为参数），该曲线为圆．

点评 本题考查直线与曲线恒有两个公共点的证明，考查弦的中点轨迹的参数方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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第一次第二次第三次第四次第五次
参会人数x（万人）11981012
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（参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

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