Question

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（　　）

• A． $f（x）=\frac{1}{x}$
• B． $f（x）=\sqrt{-x}$
• C． f（x）=2^-x-2^x
• D． $f（x）={log_{\frac{1}{2}}}|x|$

Answer 1

分析 根据反比例函数在定义域内的单调性，奇函数定义域的特点，以及奇函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．反比例函数$f（x）=\frac{1}{x}$在定义域内没有单调性；
B．f（x）定义域为{x|x≤0}，不关于原点对称，不是奇函数；
C．f（x）定义域为R，f（-x）=2^x-2^-x=-f（x）；
∴该函数为奇函数；
f′（x）=-2^-xln2-2^xln2＜0；
∴该函数在定义域内为减函数；
∴该选项正确；
D．f（-x）=f（x）；
∴该函数不是奇函数．
故选C．

点评 考查反比例函数在定义域内的单调性，奇函数定义域的特点，奇函数的定义，以及函数导数符号和函数单调性的关系．