Question

8．命题P：y=ln（x²-kx+2）的定义域为R；命题q：x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则$\frac{（a+b）^{2}}{cd}$≥k+1恒成立，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q成立的等价条件，利用p∨q为真命题，p∧q为假命题，确定实数k的取值范围

解答 解：y=ln（x²-kx+2）的定义域为R，
∴x²-kx+2＞0恒成立，
∴△=k²-8＜0，解的-2$\sqrt{2}$＜k＜2$\sqrt{2}$，
命题q：x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=a+b}\\{xy=cd}\end{array}\right.$，
∴$\frac{（a+b）^{2}}{cd}$=$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$=$\frac{y}{x}$+$\frac{y}{x}$+2≥4，当且仅当x=y取等号，
∵$\frac{（a+b）^{2}}{cd}$≥k+1恒成立，
∴4≥k+1，
∴k≤3，
∵如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题
∴p、q一真一假
①p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}＜k＜2\sqrt{2}}\\{k＞3}\end{array}\right.$，那么k的取值范围：φ
②p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{k≤-2\sqrt{2}，或k≥2\sqrt{2}}\\{k≤3}\end{array}\right.$，那么k的取值范围：k≤-2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$≤a≤3，
故k≤-2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$≤a≤3．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．