Question

16．已知曲线f（x）=x³+x²+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y²=2px（p＞0）相切，求抛物线的方程和抛物线上的切点坐标．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程，代入抛物线方程，可得x的方程，运用判别式为0，解得p=16，可得抛物线方程，解方程可得切点坐标．

解答 解：f（x）=x³+x²+x+3的导数为f′（x）=3x²+2x+1，
在x=-1处的切线斜率为3-2+1=2，切点为（-1，2），
则在x=-1处的切线方程为y-2=2（x+1），
即为y=2x+4，
代入抛物线y²=2px，可得
2x²+（8-p）x+8=0，
由直线与抛物线相切的条件可得，
△=0，即为（8-p）²-64=0，
解得p=16（0舍去），
即有抛物线的方程为y²=32x；
由p=16可得，x²-4x+4=0，
解得x=2，y=8，
则抛物线上的切点坐标为（2，8）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义，考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查运算能力，属于中档题．