Question

函数f(x)=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有如下命题：
（1）函数y=f（x）图象关于y轴对称．
（2）当x＞0时，f（x）是增函数，x＜0时，f（x）是减函数．
（3）函数f（x）的最小值是lg2．
（4）f（x）无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）判断函数是否为偶函数即可．
（2）将复合函数转化为两个基本函数，令t=x+

1

x

（x＞0），易知在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．
（3）由t=x+

1

x

≥2（x＞0）及偶函数性质可知（3）正确．
（4）由（3）可作出判断．

解答： 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
又满足f（-x）=f（x），∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，（1）正确．
（2）x＞0时，f（x）=lg（x+

1

x

），令t=x+

1

x

（x＞0），在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，（2）不正确．
（3）∵t=x+

1

x

≥2，又f（x）是偶函数，∴函数f（x）的最小值是lg2，（3）正确．
（4）由（3）知，（4）不正确．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题通过多个命题来考查函数复合函数的研究方法，涉及了函数的奇偶性，单调性，最值等，知识点，方法灵活，要细心耐心．