题目内容
已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+a，x∈R，若f（x）的最大值为
．
（1）求a的值，并求函数f（x）取得最大值时自变量x的集合；
（2）说明函数f（x）的图象可由y=sin2x图象经过怎样的变换而得到．
| 2 |
（1）求a的值，并求函数f（x）取得最大值时自变量x的集合；
（2）说明函数f（x）的图象可由y=sin2x图象经过怎样的变换而得到．
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：计算题,三角函数的图像与性质
分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦可求得f（x）=
sin（2x+
）+2-a，依题意（f（x）的最大值为
）可求得a的值，继而可求函数f（x）取得最大值时自变量x的集合；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，即可求得函数f（x）的图象是由y=sin2x图象经过怎样的变换而得到的．
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| π |
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（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，即可求得函数f（x）的图象是由y=sin2x图象经过怎样的变换而得到的．
解答：
解：（1）∵f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+a
=sin2x+cos2x+2+a
=
sin（2x+
）+2-a，
则当sin（2x+
）=1时，f（x）max=
+2+a=
，
∴a=-2；
此时sin（2x+
）=1，即2x+
=2kπ=
，k∈Z．
∴x=kπ+
，k∈Z．
∴f（x）取到最大值时，自变量x的集合为：{x|x=kπ+
，k∈Z}．
（2）由已知a=-2，
∴f（x）=
sin（2x+
），
将y=sin2x的图象向左平移
个单位得到y=f（x+
）=sin2（x+
）=sin（2x+
）的图象；
再将y=sin（2x+
）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的
倍（横坐标不变）得到f（x）=
sin（2x+
）的图象．
=sin2x+cos2x+2+a
=
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则当sin（2x+
| π |
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∴a=-2；
此时sin（2x+
| π |
| 4 |
| π |
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| π |
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∴x=kπ+
| π |
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∴f（x）取到最大值时，自变量x的集合为：{x|x=kπ+
| π |
| 8 |
（2）由已知a=-2，
∴f（x）=
| 2 |
| π |
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将y=sin2x的图象向左平移
| π |
| 8 |
| π |
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| π |
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| π |
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再将y=sin（2x+
| π |
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| π |
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点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查二倍角的正弦与余弦及正弦函数的性质，属于中档题．
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
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|
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