Question

10．如图，在△ABC中，sin$\frac{∠ABC}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，则cos∠ACB=$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 用二倍角求出cos∠ABC的值，再设BC=a，AC=3b，利用余弦定理列出关于b、a的方程组，求出△ABC的两边长，再求对应的余弦值．

解答 解：在△ABC中，sin$\frac{∠ABC}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠ABC=1-2×${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{3}$；
设BC=a，AC=3b，
由余弦定理得9b²=2²+a²-2•2a•cos∠ABC，
即9b²=4+a²-$\frac{4}{3}$a①；
又∠ADB与∠CDB互补，
∴cos∠ADB=-cos∠CDB，
即$\frac{{4b}^{2}{+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）}^{2}{-2}^{2}}{2×2b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$=-$\frac{{b}^{2}{+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）}^{2}{-a}^{2}}{2×b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，
化简得3b²-a²=-6②；
由①②组成方程组，解得a=3，b=1，
∴BC=3，AC=3b=3，
∴cos∠ACB=$\frac{{3}^{2}{+3}^{2}{-2}^{2}}{2×3×3}$=$\frac{7}{9}$．
故答案为：$\frac{7}{9}$

点评 本题考查余弦定理的灵活应用问题，也考查了推理与计算能力，是综合性题目．