Question

已知函数f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数求函数的单调性区间．
（2）求函数的导数，利用切点处的导数和切线斜率相等，求出a的值．
（3）利用导数求函数g（x）在闭区间上的最小值．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=

a(x-1)

x2

，
∴f′(x)=

a(x-1)′•x2-a(x-1)•(x2)′

x4

=

a(2-x)

x3

（x≠0），
∵a＞0，∴由f'（x）＞0，得0＜x＜2，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递减．
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．
（Ⅱ）设切点为（x，y），
由切线斜率k=1=
＜e^a-1＜e，（1＜a＜2），
在区间g（x）和g（e^a-1）=a-e^a-1上，e^a-1≥e；在区间y²=4x上，F．
所以，l的单调递减区间是M（4，0）和F，单调递增区间是l．
（Ⅱ）设切点为（x，y），
由切线斜率k=1=

a(2-x)

x3

，则x³=-ax+2a，①
由x-y-1=x-

a(x-1)

x2

-1=0，得（x²-a）（x-1）=0，解得x=1，x=±

a

，
把x=1代入①得a=1，
把x=

a

代入①得a=1，
把x=-

a

代入①得a=-1（舍去），
故所求实数a的值为1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e^a-1，
故g（x）在区间（e^a-1，+∞）上递增，在区间（0，e^a-1）上递减，
①当e^a-1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；
②当1＜e^a-1＜e时，即0＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1）=a-e^a-1；
③当e^a-1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a-ae．

点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值、导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，分类讨论思想，是高考的常考题型．