Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，侧面AA₁BB₁⊥底面ABC，D为CC₁中点，E为A₁B₁的中点，∠ABB₁=60°．
（1）求证：C₁E∥平面A₁BD；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（3）求点三棱锥A-A₁BD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AA₁中点P，BB₁中点Q，连接PD，QD，PQ，取A₁B中点为N，由已知得DN∥C₁E，由此能证明C₁E∥平面A₁BD．
（2）连结AB₁，由已知得四边形A₁ABB₁为菱形，由此能证明AB₁⊥平面A₁BD．
（3）由已知得S△A1BD=

1

2

A1B•DN=

1

2

×2

3

×

3

=3，AN=1，由此能求出三棱锥A-A₁BD的体积．

解答： （1）证明：取AA₁中点P，BB₁中点Q，连接PD，QD，PQ，
∵P，Q，D分别是AA₁，BB₁，CC₁的中点，
∴PD∥A₁C₁，∴平面A₁B₁C₁∥平面PDQ，
∴QD∥B₁C₁，PQ∥A₁B₁，
取A₁B中点为N，∴DN在平面PDQ内，
∴DN∥平面A₁BC，
∴DN∥C₁E，
∵CN?平面A₁BD，C₁E不包含于平面A₁BD，
∴C₁E∥平面A₁BD．
（2）证明：连结AB₁，
∵在四边形A₁ABB₁中，AA₁=AB=BB₁=A₁B₁=2，
∠ABB₁=60°，∴四边形A₁ABB₁为菱形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B在平面A₁BD内，
∴AB₁⊥平面A₁BD．
（3）解：∵A₁B₁=B₁B=2，∠ABB₁=60°，
∴A1B=2

3

，DN=

3

，
S△A1BD=

1

2

A1B•DN=

1

2

×2

3

×

3

=3，
AN=1，
∴三棱锥A-A₁BD的体积V=

1

3

×AN×S△A1BD=

1

3

×1×3=1．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．