Question

7．在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：

物体重量（单位g）	1	2	3	4	5
弹簧长度（单位cm）	1.5	3	4	5	6.5

（1）利用最小二乘法求y对x的回归直线方程；
（2）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．
（参考公式及数据：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}，a=\overline y-b\overline x$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=72$）

Answer 1

分析 （1）由表中数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数b、a，写出回归方程；
（2）利用线性回归方程计算x=8时y的值即可．

解答 解：（1）由表中数据，得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（1.5+3+4+5+6.5）=4，
又$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=72$，
∴b=$\frac{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{72-5×3×4}{55-5{×3}^{2}}$=1.2，
∴a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=4-1.2×3=0.4；
∴y关于x的线性回归方程为y=1.2x+0.4；
（2）由线性回归方程为y=1.2x+0.4，
把x=8代入回归方程y=1.2x+0.4中，
得：y=1.2×8+0.4=10，
故预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度10cm．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．