Question

8．已知椭圆$M：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$右顶点、上顶点分别为A、B，且圆O：x²+y²=1的圆心到直线AB的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线l与圆O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A（a，0），B（0，1），故直线AB的方程为：$\frac{x}{a}+y=1$，利用点到直线的距离公式$\frac{a}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得：$a=\sqrt{3}$，即可求得椭圆M的方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，得$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，此时$|{PQ}|=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，根据基本不等式的性质即可求得|PQ|的最大值．

解答 解：（1）据题意：椭圆$M：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞1}）$焦点在x轴上，
则A（a，0），B（0，1），故直线AB的方程为：$\frac{x}{a}+y=1$，即：x+ay-a=0．
∴点O到直线AB的距离为：$\frac{a}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得$a=\sqrt{3}$，
故椭圆的方程为 $\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，得$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
此时$|{PQ}|=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵直线l与圆O相切，所以$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即m²=1+k²，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0，
△=36k²m²-12（1+3k²）（m²-1）=12（1+3k²-m²）=24k²，由△＞0，得k≠0，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{1+3{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3（{{m^2}-1}）}}{{1+3{k^2}}}$，
∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{2\sqrt{6}|k|}}{{1+3{k^2}}}$，
则$|{PQ}|=\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{2\sqrt{6}|k|}}{{1+3{k^2}}}=2\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{（{1+{k^2}}）•2{k^2}}}}{{1+3{k^2}}}≤2\sqrt{3}•\frac{{\frac{{（{1+{k^2}}）+2{k^2}}}{2}}}{{1+3{k^2}}}=\sqrt{3}$，
当且仅当1+k²=2k²，即k=±1时，|PQ|取得最大值$\sqrt{3}$．
综上所述，|PQ|最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．