Question

19．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosθ\\ y=-4+2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）已知A（2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosθ\\ y=-4+2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．利用平方关系可得：（x-3）²+（y+4）²=4．展开可得：x²+y²-6x+8y+21=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得圆C的极坐标方程．
（2）直线AB的方程为：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$=1，即x+y-2=0．圆心C（3，-4）到直线AB的距离d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞2，可得直线AB与AB相离．可得圆C上任意一点M（x，y）直线AB的距离的最大值，可得△ABM面积的最大值=$\frac{1}{2}$|AB|（d+r）．

解答 解：（1）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosθ\\ y=-4+2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．利用平方关系可得：（x-3）²+（y+4）²=4．
展开可得：x²+y²-6x+8y+21=0．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得圆C的极坐标方程：ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．
（2）直线AB的方程为：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$=1，即x+y-2=0．
圆心C（3，-4）到直线AB的距离d=$\frac{|3-4-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞2，可得直线AB与AB相离．
∴圆C上任意一点M（x，y）直线AB的距离的最大值=d+r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2，
∴△ABM面积的最大值=$\frac{1}{2}$|AB|（d+r）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$×（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2）=3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．