Question

13．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：DM⊥BM
（2）点E为BD上任意一点，若$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}（0＜λ＜1）$，当二面角E-AM-D的大小为$\frac{π}{4}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）求出AM，BM，利用勾股定理的逆定理得出AM⊥BM．由面面垂直的性质得出BM⊥平面ADM，于是DM⊥BM；
（2）以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
M（0，0，0），A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}λ，\sqrt{2}λ，-\frac{\sqrt{2}}{2}λ）$，可得$E（\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ），\sqrt{2}λ，\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ））$．利用向量法求解．

解答 解：（1）证明：∵AD=DM=1，CM=BC=1，∠ADM=∠BCM=90°，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，又AB=2，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM，又MD?平面ADM，
∴DM⊥BM．
（2）以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
M（0，0，0），A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}λ，\sqrt{2}λ，-\frac{\sqrt{2}}{2}λ）$，∴$E（\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ），\sqrt{2}λ，\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ））$．
设平面EAM 的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MA}=\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）x+\sqrt{2}λy+\frac{\sqrt{2}}{2}（1-λ）z=0\\;\\;}\end{array}\right.$
可得$\overrightarrow{m}$=（0，λ-1，2λ）．
易得平面AMD的一个法向量$\overrightarrow{n}=（0，1，0）$，
∴|$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{|λ-1|}{\sqrt{（λ-1）^{2}+4{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得$λ=\frac{1}{3}$，或λ=-1（舍去）
∴$λ=\frac{1}{3}$

点评 本题考查线线垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键．