Question

是否存在常数C，使得不等式

x

2x+y

+

y

x+2y

≤C≤

x

x+2y

+

y

2x+y

对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论．

Answer 1

分析：先用特殊情况确定出C=

2

3

，先证

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

，再证

x

x+2y

+

y

2x+y

≥

2

3

．将不等式等价转化．

解答：解：当x=y时，可由不等式得出C=

2

3

．
下面分两个方面证明．
先证

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

，此不等式?3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）?x²+y²≥2xy．
而 x²+y²≥2xy 显然成立，
∴

x

2x+y

+

y

x+2y

≤

2

3

成立．
再证

x

x+2y

+

y

2x+y

≥

2

3

，
此不等式?3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）?2xy≤x²+y²．
而 2xy≤x²+y²显然成立．
∴

x

x+2y

+

y

2x+y

≥

2

3

成立，
综上，可知存在常数C=

2

3

，使对任何正数x、y不等式恒成立．

点评：先探索C值，然后分别证明不等式的前半部分和后半部分．