Question

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（1）设b=?（c），求?（c）；
（2）是否存在常数c，使得函数H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点．若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，得到x=

1-b

2

为切点横坐标，再根据图象的公共点的坐标，得f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，化简得（b+1）²=4c．解方程，得b=?(c)=2

c

-1．
（2）将已知函数代入，得：H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，求导数得H′（x）是一个二次函数，要使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，说明方程H′（x）=0有两个不同的根，再用根的判别式得到：△=4(b2-3c)=4(c-4

c

+1)＞0，结合c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

，故存在常数c，使得函数
H（x）在（-∞，+∞）内有极值点．

解答：解：（1）依题设可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，
∴x=

1-b

2

为切点横坐标，
于是f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，化简得（b+1）²=4c．
得b=?(c)=2

c

-1．
（2）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，
可得H'（x）=3x²+4bx+（b²+c）．
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依题设欲使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，
则须满足△=4(b2-3c)=4(c-4

c

+1)＞0
亦即 c-4

c

+1＞0，解得

c

＜2-

3

或

c

＞2+

3

，
又c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

故存在常数c∈(0，7-4

3

)∪(7+4

3

，+∞)，使得函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点．

点评：本题考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调区间与极值，属于中档题．