Question

（2008•湖北模拟）已知数列{a_n}的前n项和为{S_n}，又有数列{b_n}满足关系b₁=a₁，对n∈N^*，有a_n+S_n=n，b_n+1=a_n+1-a_n
（1）求证：{b_n}是等比数列，并写出它的通项公式；
（2）是否存在常数c，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+S_n=n，可求得2a_n+1=a_n+1，在a_n+S_n=n中令n=1可求得a₁，即b₁，由

bn+1

bn

=

1

2

，可证明：{b_n}是等比数列，从而可得其通项公式；
（2）由可求得：a_n+b_n=a_n+a_n-a_n-1=2a_n-a_n-1，2a_n+1=a_n+1，可求得an+bn=1⇒an=1-(

1

2

)n，可求得Sn -n+1=(

1

2

)n，问题即可解决．

解答：解：（1）由an+Sn=n⇒a1+S1=1⇒a1=

1

2

，又

an+1+Sn+1=n+1 an+Sn=n ⇒2an+1=an+1

（3分）
∴

bn+1

bn

=

an+1-an

an-an-1

=

an+1 2 -an

an-(2an-1)

=

1

2

，
∴数列{b_n}为等比数列，且bn=(

1

2

)n（6分）
（2）a_n+b_n=a_n+a_n-a_n-1=2a_n-a_n-1，∴an+bn=1⇒an=1-(

1

2

)n（8分）
∴Sn=n-an=n-1+(

1

2

)n⇒Sn-n+1=(

1

2

)n（10分）
依题意，存在c=-1，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列．   （12分）

点评：本题考查等比数列的通项公式，着重考查学生综合应用与转化的能力，属于难题．