Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1），（c为常数）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=(

1

2

)nan，是否存在常数c，使得数列{b_n}为递减数列，若存在求出c的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）可得到

an+1

n+1

-

an

n

=c，进而可得到数列{

an

n

}是首项为1，公差为c的等差数列，然后根据等差数列的通项公式可得到

an

n

=1+（n-1）c，从而得到数列{a_n}的通项公式．
（2）先根据（1）求出数列{b_n}的通项公式，再由数列{b_n}为递减数列可得到b_n+1-b_n=

-c(n+1)2+(3c-1)n+1

2n+1

＜0对任意的n∈N^*恒成立，然后令n=1、2、3分别求出c的范围，再由根据函数的单调性求出的c的范围与上面求出的c的范围矛盾，故可得到实数c不存在．

解答：解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴

an+1

n+1

=

an

n

+c，即

an+1

n+1

-

an

n

=c
从而数列{

an

n

}是首项为1，公差为c的等差数列
∴

an

n

=1+（n-1）c，即a_n=cn²+（1-c）n
（2）bn=(

1

2

)nan=

cn2+(1-c)n

2n

∵数列{b_n}为递减数列
∴bn+1-bn=

c(n+1)2+(1-c)(n+1)

2n+1

-

cn2+(1-c)n

2n

=

-c(n+1)2+(3c-1)n+1

2n+1

＜0对任意的n∈N^*恒成立
∴-cn²+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n²）＜n-1①
当n=1时，由①得c＜0
当n=2时，由①得c＜

1

2

当n=3时，由①得c∈R
当n≥4时，c＞

n-1

3n-n2

设f（x）=

x-1

3x-x2

(x≥4)，则f'（x）=

x2-2x+3

(3x-x2)2

=

(x-1)2+2

(3x-x2)2

＞0
∴f（x）在[4，+∞）上是增函数，从而-

3

4

≤f(x)＜0
∴c≥0
综上可知，满足条件的实数c不存在．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法和根据数列的单调性求参数的范围的问题．考查综合运用能力和运算能力．