Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），f（a_n）和g（a_n）满足：a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）是否存在常数C，使得数列{a_n+C}为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）设b_n=3f（a_n）-[g（a_n+1）]²，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根据 已知条件（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0整理得到（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0；再结合a₁=2，得到4a_n+1=3a_n+1；最后通过假设存在常数C，使{a_n+C}为等比数列，得到相邻两项的比值为常数求出常数c=-1；
（2）先根据第一问的 结果求出数列{a_n}的通项，再代入求出数列{b_n}的通项公式，最后根据等比数列的求和公式 即可得到结论．

解答：解：（1）由题意知：4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0   …（2分）
∵a₁=2，∴a_n-1≠0，即4a_n+1=3a_n+1 …（4分）
假设存在常数C，使{a_n+C}为等比数列，
则：

an+1+c

an+c

=

3 4 an+ 1 4 +c

an+c

=

3

4

+

1 4 (1+c)

an+c

为常数
∴c=-1，故存在常数c=-1，使{a_n-1}为等比数列…（6分）
（2）∵a₁=2，∴a1-1=1，即an-1=(

3

4

)n-1，
∴an=(

3

4

)n-1+1…（8分）
从而bn=3(an-1)2-[4(an+1-1)]2=-6(

9

16

)n-1…（10分）
∴Sn=

-6[1-( 9 16 )n]

1- 9 16

=-

96

7

[1-(

9

16

)n]…（12分）

点评：本题主要考查等比数列的求和公式的应用．再应用等比数列的求和公式时，一定要先判断公比是否等于1，避免出错．