题目内容
（附加题）是否存在常数c，使得不等式
+
+
≤c≤
+
+
对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．
| x |
| 2x+y+z |
| y |
| x+2y+z |
| z |
| x+y+2z |
| x |
| x+2y+z |
| y |
| x+y+2z |
| z |
| 2x+y+z |
对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．
分析：利用x=y=z时，猜测常数c，左边不等式利用换元法，再利用基本不等式可证；右边不等式的证明，用柯西不等式、分析法证明即可．
解答：解：猜测常数c=
（可以猜测等号当且仅当x=y=z时成立）
左边不等式的证明方法，令
，则
，
∴左边=
+
+
=
-(
+
)-(
+
)-(
+
)≤
右边不等式的证明用柯西不等式证明，证法如下：
右边=
+
+
=
+
+
=
≥
，
于是要证明右边不等式成立，只需证明
≥
，
即证4（x+y+z）2≥3[x2+y2+z2+3（xy+yz+xz）}
即证：x2+y2+z2≥xy+yz+xz
即证：（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0
显然成立，故问题得证．
| 3 |
| 4 |
左边不等式的证明方法，令
|
|
∴左边=
| 3a-b-m |
| 4a |
| 3b-a-m |
| 4b |
| 3m-a-b |
| 4m |
| 9 |
| 4 |
| b |
| 4a |
| a |
| 4b |
| m |
| 4a |
| a |
| 4m |
| b |
| 4m |
| m |
| 4b |
| 3 |
| 4 |
右边不等式的证明用柯西不等式证明，证法如下：
右边=
| x |
| x+2y+z |
| y |
| x+y+2z |
| z |
| 2x+y+z |
| x2 |
| x2+2xy+xz |
| y2 |
| yx+y2+2yz |
| z2 |
| 2xz+yz+z2 |
=
(
| ||||||
| ((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2)) |
| (x+y+z)2 |
| x2+y2+z2+3(xy+yz+xz) |
于是要证明右边不等式成立，只需证明
| (x+y+z)2 |
| x2+y2+z2+3(xy+yz+xz) |
| 3 |
| 4 |
即证4（x+y+z）2≥3[x2+y2+z2+3（xy+yz+xz）}
即证：x2+y2+z2≥xy+yz+xz
即证：（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0
显然成立，故问题得证．
点评：本题的考点是分析法与综合法，考查利用分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，注意分析法的证题步骤是解题的关键．
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