在直角坐标系中.已知圆C的圆心坐标为(2.0).半径为$\sqrt{2}$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．.直线l的参数方程为:$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+t\end{array}\right.$．(1)求圆C和直线l的极坐标方程,(2)点P的极坐标为.直线l与圆C相交于A.B.求|PA|+|PB|的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为$\sqrt{2}$，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求圆C和直线l的极坐标方程；
（2）点P的极坐标为（1，$\frac{π}{2}$），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．

分析（1）$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t₁，t₂，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．

解答解：（1）圆C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=2，
$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入圆C得：（ρcosθ-2）²+ρ²sin²θ=2
化简得圆C的极坐标方程：ρ²-4ρcosθ+2=0…（3分）
由$l：\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+t\end{array}\right.$得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…（5分）
（2）由$P（1，\frac{π}{2}）$得点P的直角坐标为P（0，1），
∴直线l的参数的标准方程可写成$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$…（6分）
代入圆C得：$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-2{）^2}+{（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=2$
化简得：${t^2}+3\sqrt{2}t+3=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-3\sqrt{2}\\{t_1}•{t_2}=3\end{array}\right.$，∴t₁＜0，t₂＜0…（8分）
∴$|{PA}|+|{PB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=-（{{t_1}+{t_2}}）=3\sqrt{2}$…（10分）