Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
（1）求f（2）与f（$\frac{1}{2}$），f（3）与f（$\frac{1}{3}$）；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f（$\frac{1}{x}$）有什么关系？并证明你的发现；
（3）计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）

Answer 1

分析 （1）直接代入计算即可；
（2）发现f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，代入化简即可证明；
（3）利用（2）的结论即可得出．

解答 解：（1）f（2）=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{5}$，f（3）=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{10}$，
（2）f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
理由如下：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1，
（3）由（2）可得，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）
=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（2006+f（$\frac{1}{2016}$）]，
=$\frac{1}{2}$+2015
=$\frac{4031}{2}$

点评 本题考查函数的值，考查数列的求和，求得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．