Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）分n=1时，和n≥2时根据数列的求和公式和递推公式即可求出答案，
（2）根据分组求和和等差数列和等比数列的求和公式即可求出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+2n-1，
∴n=1时，a₁=S₁=1+2-1=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（n²+2n-1）-[（n-1）²+2（n-1）-1]
=2n+1，
n=1时，2n+1=3≠a₁，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n+1，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）当n=1时，b₁=2²+2=6，
当n≥2时，b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2²ⁿ⁺¹+2n，
当n=1时，T₁=6，
当n≥2时，
∴T_n=6+（2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹）+2（2+3+4+…+n）
=-4+（2³+2⁵+2⁷+…+2²ⁿ⁺¹）+2（1+2+3+4+…+n）
=-4+$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{2n}）}{1-4}$+2•$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{3}$×2²ⁿ⁺³+n²+n-$\frac{20}{3}$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{1}{3}×{2}^{2n+3}+{n}^{2}+n-\frac{20}{3}，n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题考查的是数列通项和数列求和问题．在解答时中充分体现了特值的思想、分类讨论的思想以及分组求和．值得同学体会和反思．