Question

4．将函数$f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度得到y=sinx的图象，则$f（\frac{π}{6}）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），从而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：将函数$f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，可得y=sin（2ωx+φ）的图象；
再把图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度得到y=sin[2ω（x-$\frac{π}{4}$）+φ]=sin（2ωx-$\frac{ωπ}{2}$+φ）的图象．
再根据所得图象为 y=sinx，∴$\left\{\begin{array}{l}{2ω=1}\\{-\frac{ωπ}{2}+φ=0}\end{array}\right.$，求得ω=$\frac{1}{2}$，且 φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
则$f（\frac{π}{6}）$=sin（$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题．