Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，点P在线段BD₁上，当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为（　　）

• A、

  1

  18

• B、

  1

  24

• C、

  1

  9

• D、

  1

  12

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：△APC中AP=CP，当AP⊥BD₁时AP，CP最短，∠APC最大，由此能求出当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积．

解答： 解：连结AC交BD于O，连结PO，
则∠APC=2∠APO，
∵tan∠APO=

AO

PO

，
∴当PO最小时，∠APO最大，
即PO⊥BD₁时，∠APO最大，
如图，作PE⊥BD于E，
此时|PB|=

1

3

|BD₁|，
∴三棱锥P-ABC的高为P到平面ABCD的距离PE=

1

3

，
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S△ABC•PE=

1

3

×

1

2

×

1

3

=

1

18

．
故选：A．

点评：本题考查当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．