Question

已知f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）．现有下列命题：
①f（-x）=-f（x）；
②f（

2x

1+x2

）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（　　）

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、①②

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1），
∴f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），即①正确；
f（

2x

1+x2

）=ln（1+

2x

1+x2

）-ln（1-

2x

1+x2

）=ln（

x2+2x+1

1+x2

）-ln（

x2-2x+1

1+x2

）=ln（

x2+2x+1

x2-2x+1

）=ln[（

1+x

1-x

）²]=2ln（

1+x

1-x

）=2[ln（1+x）-ln（1-x）]=2f（x），故②正确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|?f（x）-2x≥0，令g（x）=f（x）-2x=ln（1+x）-ln（1-x）-2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=

1

1+x

+

1

1-x

-2=

2x2

1-x2

≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）-2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．