Question

4．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-EBC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证EF∥平面ABC₁D₁，只需在平面ABC₁D₁中找一直线与EF平行，根据E、F分别为DD₁、DB的中点，可得EF∥BD₁，最后根据线面平行的判定定理可得结论；
（Ⅱ）等体积转化由棱锥的体积公式即可求得体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵E、F分别为DD₁、DB的中点，
∴EF是三角形BD₁D的中位线，∴EF∥BD₁，
又EF?平面ABC₁D₁，BD₁?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）解：${V}_{{B}_{1}-EBC}$=${V}_{E-{B}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}$×${S}_{△{B}_{1}BC}$×2=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$
∴三棱锥B₁-EBC的体积为$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了线面平行的判定定理、考查三棱锥的体积，同时考查了推理论证的能力和空间想象能力，属于中档题．