Question

12．已知二次函数f（x）的图象的顶点为A（1，16），且函数f（x）的图象在x轴上截得的线段长为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=（2-2p）x-f（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数p的取值范围；
（3）若函数h（x）=-2af（x）+（4a+2）x+29a-1在区间[-1，1]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=a（x-1）²+16=ax²-2ax+a+16，图象在x轴上截得线段长为8，利用弦长公式与韦达定理可求得a的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）求得g（x）的表达式，利用g（x）在[0，2]上是单调增函数，即可求实数a的取值范围；
（3）先确定当a=0时，h（x）=2x-1，其零点符合要求，再确定对称轴属于区间[-1，1]，函数h（x）有唯一解时△=0时不成立；当△大于零0时，分开口向上和向下两种情况讨论．

解答 解：（1）由条件设二次函数f（x）=a（x-1）²+16=ax²-2ax+a+16，
设f（x）=0的两根为：x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵图象在x轴上截得线段长为8，由韦达定理得：
（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₂x₁=（-2）²-4×$\frac{a+16}{a}$=64
解得a=-1
∴函数的解析式为f（x）=-x²+2x+15；
（2）∵f（x）=-x²+2x+15，
∴g（x）=（2-2p）x-f（x）=x²-2px-15，
而g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，
∴对称轴x=p在[0，2]的左侧，
∴p≤0．
所以实数a的取值范围是p≤0；
（3）h（x）=-2af（x）+（4a+2）x+29a-1=2ax²+2x-a-1，
若函数h（x）在区间[-1，1]上有且只有一个零点，
则①当a=0时，h（x）=2x-1，其零点为$\frac{1}{2}$∈[-1，1]；
②当a≠0，二次函数只有一个零点且在[-1，1]时，满足条件，
即：$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△=4+4×2a（a+1）=0}\\{-1≤-\frac{2}{4a}≤1}\end{array}\right.$⇒无解；                          
③当a≠0，二次函数有两个零点，一个在[-1，1]时，满足条件，
即：$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△=4+4×2a（a+1）＞0}\\{h（-1）•h（1）＜0}\end{array}\right.$⇒-1＜a＜0或0＜a＜3；    
④当-1是零点时，a=3，此时h（x）=6x²+2x-4，零点是：-1，$\frac{2}{3}$，不合题意，
当1是零点时，a=-1，此时h（x）=-2x²+2x，零点是：1，0，不合题意；  
综上所述：-1＜a＜3满足题意．

点评 本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数解析式的设法与求解，突出弦长公式与韦达定理的应用，考查函数的零点问题，注重单调性的考查，属于中档题．