Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{2a+c}$=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式可得cosB=-$\frac{1}{2}$，问题得以解决，
（Ⅱ）由余弦定理可得ac=3，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（I）由$\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{2a+c}=0$知：（2a+c）cosB+bcosC=0
由正弦定理知：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
∴2sinAcosB=-sin（B+C）
即$cosB=-\frac{1}{2}$，
又 B∈（0，π），
∴$B=\frac{2π}{3}$；
（ II）在△ABC中由余弦定理知：b²=a²+c²-2accosB，
∴b²=（a+c）²-2ac-2accosB，
又$b=\sqrt{13}，a+c=4，B=\frac{2π}{3}$，
∴13=16-2ac+ac，
∴ac=3
∴${s_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．