Question

9．已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，常数a＞0
（1）当x=1时，函数f（x）取得极小值-2，求函数f（x）的极大值
（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀时，若$\frac{h（x）-g（x）}{{x-{x_0}}}＞0$在D内恒成立，则称点P为h（x）的“类优点”，若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，
①求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程
②求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；
（2）①求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
②结合题意得到F（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx+a+1，通过讨论a的范围得到函数的单调性，进而确定a的范围即可．

解答 解：（1）由题意，f（1）=1-（a+2）=-2，得a=1，
此时$f'（x）=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{{（{x-1}）（{2x-1}）}}{x}$，（x＞0）…（2分）
令f'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2}$…（3分）
当$0＜x＜\frac{1}{2}或x＞1$时，f'（x）＞0； 当$\frac{1}{2}＜x＜1$时，f'（x）＜0
所以f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$与（1，+∞）上单调递增，在$（{\frac{1}{2}，1}）$上递减
所以当$x=\frac{1}{2}$时，f（x）有极大值$-\frac{5}{4}+ln\frac{1}{2}$…（4分）
（2）①∵$f'（x）=2x-（{a+2}）+\frac{a}{x}=\frac{{（{2x-a}）（{x-1}）}}{x}$，（x＞0）
∴f（1）=1-（a+2）=-a-1，f'（1）=0
所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为g（x）=-a-1…（6分）
②若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，
令F（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx+a+1常数a＞0，
$则当x∈（{0，1}）∪（{1，+∞}）时，恒有\frac{F（x）}{x-1}＞0$
又F（1）=0，且∵$F'（x）=2x-（{a+2}）+\frac{a}{x}=\frac{{（{2x-a}）（{x-1}）}}{x}$，（x＞0）
令F'（x）=0，得x=1或$x=\frac{a}{2}$，a＞0…（8分）
则当a=2时，∵F'（x）≥0，F（x）在（0，+∞）上递增
∴当x∈（0，1）时，F（x）＜F（1）=0； 
当x∈（1，+∞）时，F（x）＞F（1）=0
故当x≠1时，恒有$\frac{F（x）}{x-1}＞0$成立…（9分）
当a＞2时，由F'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{a}{2}$，
∴F（x）在$（{1，\frac{a}{2}}）$上递减，F（x）＜F（1）=0．
所以在，$1＜x＜\frac{a}{2}$，$\frac{F（x）}{x-1}＞0$不成立．…（10分）
当0＜a＜2时，由F'（x）＜0，得$\frac{a}{2}＜x＜1$，
∴F（x）在$（{\frac{a}{2}，1}）$上递减，F（x）＞F（1）=0．
所以在，$\frac{a}{2}＜x＜1$，$\frac{F（x）}{x-1}＞0$不成立…（11分）
综上可知，若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，则实数a=2…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查新定义的理解，是一道中档题．