Question

1．下列命题中
①若log_a3＞log_b3，则a＞b；
②函数f（x）=x²-2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；
③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；
④函数$h（x）=\frac{{1-{e^{2x}}}}{e^x}$既是奇函数又是减函数．
其中正确的命题有②④．

Answer 1

分析 根据对数函数的图象和性质，可判断①；根据二次函数的图象和性质，可判断②；根据函数零点的定义，可判断③；分析函数的奇偶性和单调性，可判断④．

解答 解：若log_a3＞log_b3＞0，则a＜b，故①错误；
函数f（x）=x²-2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，
当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f（x）=x²-2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；
故②正确；
g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，
则函数g（x）可能存在零点；
故③错误；
数$h（x）=\frac{{1-{e^{2x}}}}{e^x}$满足h（-x）=-h（x），故h（x）为奇函数，
又由$h′（x）=\frac{-{e}^{2x}}{{e}^{x}}$=-e^x＜0恒成立，故h（x）为减函数
故④正确；
故答案为：②④．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，函数的值域，函数的零点，函数的奇偶性和函数的单调性等知识点，难度中档．