Question

已知函数f（x）=sinωx，g(x)=sin(2x+

π

2

)，有下列命题：
①当ω=2时，f（x）g（x）的最小正周期是

π

2

；
②当ω=1时，f（x）+g（x）的最大值为

9

8

；
③当ω=2时，将函数f（x）的图象向左平移

π

2

可以得到函数g（x）的图象．
其中正确命题的序号是

 

（把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：当w=2时可以确定函数f（x）的解析式，进而得到f（x）g（x）的解析式，然后根据二倍角公式化简，最后根据最小正周期的求法确定①正确；根据平移的左加右减可以判断③；当w=1时，先确定函数f（x）的解析式，然后代入到f（x）+g（x）中根据二倍角公式进行整理成二次函数的形式，可得到最大值，从而可判断②．

解答：解：当w=2时∵f（x）g（x）=sin2xsin（2x+

π

2

）=sin2xcos2x=

1

2

sin4x，T=

2π

4

=

π

2

，故①正确；
当w=1时∵f（x）+g（x）=sinx+sin（2x+

π

2

）=sinx+cos2x=-2sin²x+sinx+1=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

∴当sinx=

1

4

时，函数f（x）+g（x）的最大值为

9

8

，②正确；
当w=2时，f（x）=sin2x，g(x)=sin(2x+

π

2

)=sin2（x+

π

4

），为得到函数g（x）的图象可将函数f（x）向左平移

π

4

个单位，③不正确．
故答案为①②．

点评：本题主要考查二倍角公式、平移变换的知识．