Question

17．设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=${a}_{n}^{2}$+lna_3n+1，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}是公比q大于1的等比数列，运用等比数列的求和公式和通项公式，以及等差数列的中项的性质，解方程即可得到所求数列的通项公式；
（2）求得b_n=4^n-1+ln2³ⁿ=4^n-1+3nln2，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}是公比q大于1的等比数列，
由S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，
可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=7，6a₂=a₁+a₃+7，即6a₁q=a₁+a₁q²+7，
解方程可得a₁=1，q=2（$\frac{1}{2}$舍去），
则a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=${a}_{n}^{2}$+lna_3n+1=4^n-1+ln2³ⁿ
=4^n-1+3nln2，
{b_n}的前n项和T_n为b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（1+4+16+…+4^n-1）+3ln2（1+2+3+…+n）
=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$+3ln2•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$+3ln2•$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列的通项公式和求和公式，考查等差数列的中项的性质和数列的求和方法：分组求和，属于中档题．