Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=2．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）若|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{2}$，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）向量的数量积的定义，即可求出
（2）根据向量的数量积以及向量模即可求出．

解答 解：（1）设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ-$\overrightarrow{a}$²=4$\sqrt{2}$cosθ-2=2，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
（2）∵|t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{2}$，
∴t²$\overrightarrow{a}$²-2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=2t²-8t+16=8，
即t²-4t+4=0，
解得t=2．

点评 本题考查了向量的数量积的定义以及向量模的运用求向量的夹角，属于基础题．