Question

2．数列{b_n}满足b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2，n∈N^*），b₁=4．
（1）证明数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

分析 （1）将等式两边除以2ⁿ，再加1，运用等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求通项；
（2）运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹，
即为$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$+1=$\frac{3{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+3=3（$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1），
则数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
即有$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$+1=3ⁿ，
即b_n=2ⁿ（3ⁿ-1）=6ⁿ-2ⁿ；
（2）数列{b_n}的前n项的和为S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（6+6²+6³+…+6ⁿ）-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=$\frac{6（1-{6}^{n}）}{1-6}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{6}{5}$•6ⁿ-2ⁿ⁺¹+$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用构造数列法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：分组求和，属于中档题．