Question

6．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x-a|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）当x∈R时，f（x）≥3a+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数，分类讨论求得不等式的解集．
（2）先利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据最小值大于或等于3a+2，求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=|2x-1|+|2x-2|．
当x≤$\frac{1}{2}$时，不等式化为-2x+1-2x+2＜2，∴x＞$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{1}{2}$；
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，不等式化为2x-1-2x+2＜2，恒成立；
当x≥1时，不等式化为2x-1+2x-2＜2，∴求得1≤x＜$\frac{5}{4}$．
综上可得，不等式f（x）≤x+5的解集为{x|$\frac{1}{4}$x＜$\frac{5}{4}$}．
（2）f（x）=|2x-1|+|2x-a|≥|2x-1-（2x+a）|=|a-1|，
当x∈R时，f（x）≥3a+2恒成立，得|a-1|≥3a+2，得-$\frac{3}{2}$≤a≤-$\frac{1}{4}$，实数a的取值范围为-$\frac{3}{2}$≤a≤-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．