Question

13．设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P做圆C：x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，∠APB=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，判断四边形面积最小时P的位置，利用点到直线的距离求出PC，然后求出∠P的大小．

解答 解：圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，即圆C：（x-1）²+（y-1）²=1，圆心坐标（1，1），半径为1；
由题意过点P作圆C：x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，
可知四边形PACB的面积是两个三角形的面积的和，因为CA⊥PA，CA=1，
显然PC最小时四边形面积最小，
即PC_最小值=$\frac{|3+4+3|}{5}$=2．
sin∠CPA=$\frac{CA}{CP}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CPA=30°，所以∠P=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，正确判断四边形面积最小时的位置是解题的关键，考查计算能力．