Question

8．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为$\sqrt{3}$，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（　　）

• A． 2π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 10π

Answer 1

分析 利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为$\sqrt{3}$，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA₁，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．

解答 解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为$\sqrt{3}$，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴$\frac{1}{2}$×2×1×sin60°×AA1=$\sqrt{3}$，∴AA₁=2
∵BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos60°=4+1-2，∴BC=$\sqrt{3}$．
设△ABC外接圆的半径为R，则$\frac{BC}{sin6{0}^{0}}$=2R，∴R=1．
∴外接球的半径为$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，∴球的表面积等于4π×（$\sqrt{2}$）²=8π．
故选：C．

点评 本题考查球的表面积，考查棱柱的体积，考查学生的计算能力，属于基础题