Question

2．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_4}x}|，\;0＜x≤4\\{x^2}-10x+25，\;x＞4.\end{array}\right.$若a，b，c，d是互不相同的正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（　　）

• A． （24，25）
• B． （18，24）
• C． （21，24）
• D． （18，25）

Answer 1

分析 画出函数y=f（x）的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得ab=1，由二次函数的性质可得c+d=10，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．

解答 解：先画出函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_4}x}|，\;0＜x≤4\\{x^2}-10x+25，\;x＞4.\end{array}\right.$的图象，如图：
∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．
且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
而-log₄a=log₄b，即有log₄a+log₄b=0，
可得ab=1，
则abcd=cd，
由c+d=10，可得cd＜（$\frac{c+d}{2}$）²=25，
且cd=c（10-c）=-（c-5）²+25，
当c=4时，d=6，cd=24，但此时b，c相等，
故ab的范围为（24，25）．
故选：A．

点评 本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．