Question

已知函数f（x）=-

1

x

，g（x）与f（x）关于点M（-

1

2

，

1

2

）对称．
（1）求g（x）的解析式，并求出g（x）的单调区间；
（2）若a＞b＞0，c=

1

(a-b)b

，求证：g（a）+g（c）＞

3

4

．

Answer 1

考点：不等式的证明,函数的图象与图象变化,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：不等式

分析：（1）利用中点坐标公式，即可求出g（x）的解析式，再利用导数判断函数的单调性即可，
（2）先利用均值不等式求得a+c≥3，再利用函数的单调性得到g（a+c）≥g（3）=

3

4

，再利用放缩法得到g（a）+g（c）＞g（a+c），问题得以证明

解答： 解：（1）设点（x，y）在f（x）图象上，设点（x，y）关于点M（-

1

2

，

1

2

）对称点为（x'，y'），则点（x'，y'）在g（x）图象上，由中点公式：x+x'=-1，y+y'=1；
所以：x=-1-x'，y=1-y'；
∵（x，y）在f（x）图象上，即y=-

1

x

；
∴1-y'=

1

1+x′

，
∴y′=

x′

x′+1

，
∴g（x）=

x

x+1

=1-

1

x+1

，
∴g′（x）=

1

(x+1)2

＞0，
∴函数g（x）函数为增函数，
（2）∵a＞b＞0 c=

1

(a-b)b

，
∴a+c=a+

1

(a-b)b

=（a-b）+b+

1

(a-b)b

≥3

(a-b)•b• 1 (a-b)b

=3，
∵g（x）=

x

x+1

在（0，+∞）单调递增，
∴g（a+c）≥g（3）=

3

4

，
∵g（a+c）=

a+c

a+c+1

，
∴g（a）+g（c）=

a

a+1

+

c

c+1

＞

a

a+c+1

+

c

a+c+1

=

a+c

a+c+1

=g（a+c）
即g（a）+g（c）＞g（a+c）≥

3

4

，
∴g（a）+g（c）＞

3

4

．

点评：本题考查了中点坐标公式，函数的单调性，均值不等式，放缩法，考查了转化能力，计算能力，属于难题