Question

已知关于x的一元二次不等式（a-2）x²+2

b-1

x+1＞0的解集为R，若a≤4，则

a2+2ab

a2+b2

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：结合让式子有意义的原则，及二次不等式恒成立的条件，可得到关于a，b的不等式组，画出对应的平面区域，可将问题转化为线性规划问题，再由函数的导数的运用：判断单调性，再求最值即可得到．

解答： 解：若一元二次不等式（a-2）x²+2

b-1

x+1＞0
的解集为R，
则

a-2＞0 △=4(b-1)-4(a-2)＜0

即

a＞2 a-b＞1

，
又由a≤4，b≥1可得满足条件的平面区域如下图所示：
令k=

b

a

，
则k表示平面上一动点（a，b）与原点连线的斜率，
由图可知k∈[

1

4

，

3

4

）
则

a2+2ab

a2+b2

=

1+2k

1+k2

，
∵f（k）=

1+2k

1+k2

的导数为f′（k）=

-2(k2+k-1)

(1+k2)2

，
由

-1- 5

2

＜k＜

-1+ 5

2

，f′（k）＞0，f（k）递增；
当k＞

-1+ 5

2

或k＜

-1- 5

2

时，f′（k）＜0，f（k）递减．
则f（k）在[

1

4

，

-1+ 5

2

）递增，在（

-1+ 5

2

，

3

4

）递减，
则f（x）的最大值为f（

-1+ 5

2

）=

5 +1

2

，
由于f（

1

4

）=

24

17

，f（

3

4

）=

8

5

，则f（x）的最小值为

24

17

．
故

a2+2ab

a2+b2

的取值范围是：[

24

17

，

5 +1

2

]
故答案为：[

24

17

，

5 +1

2

]．

点评：本题考查的知识点是二次不等式恒成立，线性规划，斜率的几何意义，函数的单调性的运用：求最值，综合性强．